Υδροστατική πίεση

Που οφείλεται η υδροστατική πίεση: Σε ένα υγρό που ισορροπεί σε ένα δοχείο ασκούνται δυο δυνάμεις: το βάρος του w και η δύναμη FN  που δέχεται το υγρό από το πυθμένα. Αυτές οι δυο δυνάμεις έχουν συνισταμένη μηδέν, οπότε για τα μέτρα τους έχουμε:

FN=w

Ας γράψουμε ότι το υγρό θα ασκεί δύναμη F’N στο πυθμένα του δοχείου. Η δύναμη F’N που ασκεί το υγρό στο πυθμένα με τη δύναμη FN που δέχεται το υγρό από τον πυθμένα θα έχουν σχέση δράσης – αντίδρασης, άρα το μέτρο της δύναμης που ασκεί το υγρό στο πυθμένα θα είναι ίσο με το βάρος του. Οπότε η πίεση του υγρού στον πυθμένα είναι ίση με:

Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι η υδροστατική πίεση των υγρών οφείλεται στο βάρος τους. Ας κάνουμε το παρακάτω νοητό πείραμα: Έστω η υδροστατική πίεση ενός υγρού σε ένα δοχείο που βρίσκεται στη Γη έχει μια τιμή. Αν μεταφέρουμε το δοχείο στη Σελήνη η υδροστατική πίεση θα μειωθεί κατά 6 φορές. Πράγματι επειδή η δύναμη βαρύτητας στη Σελήνη είναι 6 φορές μικρότερη από εκείνη στη Γη, από τον τύπο p=w/A αποδεικνύεται ο ισχυρισμός μας.

Μέτρηση της υδροστατικής πίεσης

Για να μετρήσουμε την υδροστατική πίεση ενός υγρού, χρησιμοποιούμαι ειδικά όργανα τα μανόμετρα. Ένας απλός τύπος μανομέτρου που χρησιμοποιούμε στο εργαστήριο της φυσικής, αποτελείται από ένα διαφανές σωλήνα σε σχήμα U ο οποίος περιέχει κάποιο υγρό π.χ. υδράργυρο ή λάδι. Το ένα σκέλος του σωλήνα συνδέεται με ελαστικό σωλήνα ο οποίος η άλλη του άκρη τερματίζεται σε μια κάψα που στην μια της μεριά κλείνεται με ελαστική μεμβράνη. Η κάψα τοποθετείται στο υγρό στο σημείο που θέλουμε να μετρήσουμε την υδροστατική πίεση. Η μεμβράνη παραμορφώνεται και πιέζει τον αέρα που βρίσκεται μέσα στον ελαστικό σωλήνα. Ο αέρας του ελαστικού σωλήνα πιέζει το υγρό του μανομέτρου, οπότε δημιουργείται υψομετρική διαφορά στο υγρό των δυο σκελών του μανομέτρου. Η διαφορά της στάθμης στα δυο σκέλη είναι η ένδειξη του μανομέτρου που είναι ανάλογης της υδροστατικής πίεσης που δέχεται η κάψα.

Όσο μεγαλύτερη είναι η πίεση του υγρού τόσο περισσότερο παραμορφώνεται η μεμβράνη και τόσο περισσότερο μεγαλώνει η διαφορά στάθμης στα δυο σκέλη του μανομέτρου.

Νόμος της υδροστατικής πίεσης

Στην αρχή της ενότητας είπαμε ότι η υδροστατική πίεση ενός υγρού οφείλεται στο βάρος του. Στη συνέχεια θα αναζητήσουμε πως συνδέεται η υδροστατική πίεση με τα άλλα φυσικά μεγέθη που έχει σχέση. Για να το πετύχουμε αυτό κάνουμε μια σειρά πειραμάτων.

Υδροστατική πίεση και βάθος Για να συσχετίσουμε την υδροστατική πίεση με το βάθος, καταφεύγουμε στο πείραμα. Τοποθετούμε την μανομετρική κάψα σε διάφορα βάθη και μετράμε την πίεση με το μανόμετρο. Με επεξεργασία των μετρήσεων ανακαλύπτουμε ότι η υδροστατική πίεση αυξάνεται ανάλογα με το βάθος.

Υδροστατική πίεση και πυκνότητα του υγρού Για να βρούμε τη σχέση της υδροστατικής πίεσης με την πυκνότητα του υγρού εκτελούμε το παρακάτω πείραμα: Παίρνουμε δυο δοχεία το ένα με καθαρό οινόπνευμα το οποίο έχει πυκνότητα ροιν=800Kg/m3 και το άλλο με αλατόνερο το οποίο έχει πυκνότητα ραλ=1600Kg/m3. Μετράμε με το μανόμετρο την υδροστατική πίεση, στο ίδιο βάθος, στο δοχείο με το αλατόνερο και βρίσκουμε ότι είναι διπλάσια από την υδροστατική πίεση στο δοχείο με το οινόπνευμα. Με αυτό το πείραμα και καθώς με άλλα συμπεραίνουμε ότι η υδροστατική πίεση είναι ανάλογη με την πυκνότητα του υγρού.

Νόμος της υδροστατικής πίεσης Με τα παραπάνω πειραματικά δεδομένα καθώς και με την εκτέλεση άλλων πειραμάτων, καταλήγουμε στο ότι η υδροστατική πίεση είναι ανάλογη με:
1] Με το βάθος από την επιφάνεια του υγρού.
2] Με την πυκνότητα του υγρού.
3] Με την επιτάχυνση της βαρύτητας.

Τα παραπάνω συμπεράσματα εκφράζονται με τη γλώσσα των μαθηματικών με την παρακάτω σχέση, που λέγεται νόμος της υδροστατικής πίεσης:

p = ρ ∙ g ∙ h

Όπου p η υδροστατική πίεση σε Ν/m2 , ρ η πυκνότητα του υγρού σε Κg/m3 , g η επιτάχυνση της βαρύτητας σε m/s2 και h το βάθος από την επιφάνεια του υγρού σε m.

Απλή απόδειξη του νόμου της υδροστατικής πίεσης. Θεωρούμε ότι έχουμε ένα κυλινδρικό δοχείο με εμβαδόν βάσης Α και ότι έχει ύψος h, το οποίο είναι γεμάτο με υγρό πυκνότητας ρ. Ο όγκος του υγρού που περιέχει είναι ίσος με V = A ∙ h ενώ η μάζα του θα είναι m = ρ ∙ V = ρ ∙ Α ∙ h

Το βάρος του υγρού εκφράζεται με τη σχέση w = m ∙ g = ρ ∙ Α ∙ h ∙ g

Επειδή το υγρό ισορροπεί θα δέχεται δύναμη F από το πυθμένα κατά μέτρο ίση με το βάρος του w δηλαδή F = w. Λόγω του τρίτου νόμου του Νεύτωνα, δηλαδή της σχέσης δράσης – αντίδρασης, το υγρό θα ασκεί στο πυθμένα δύναμη F’ με μέτρο ίσο της δύναμης F, δηλαδή:
F’ = F = w  και  συγκεκριμένα   F’ = ρ ∙ Α ∙ h ∙ g

Η πίεση στο πυθμένα λόγω της δύναμης F’ που ασκεί το υγρό στο πυθμένα, θα είναι:

Δηλαδή, η υδροστατική πίεση p υγρού πυκνότητας ρ σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού εκφράζεται ως: (g η επιτάχυνση της βαρύτητας)

p = ρ ∙ h ∙ g

Υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από τον όγκο και το σχήμα του δοχείου.

Εκτελούμε το παρακάτω πείραμα: Έχουμε διάφορα δοχεία από το ίδιο υγρό τα οποία περιέχουν διαφορετική ποσότητα του ίδιου υγρού. Βάζουμε τη μανομετρική κάψα σε καθένα από τα δοχεία και στο ίδιο βάθος και μετράμε την υδροστατική πίεση. Παρατηρούμε ότι η υδροστατική πίεση είναι ίδια για το ίδιο βάθος ανεξάρτητη από το σχήμα του δοχείου και τη μάζα του υγρού.

Συγκοινωνούντα δοχεία

Από το νόμο της υδροστατικής πίεσης προκύπτει ότι η πίεση σε δυο διαφορετικά σημεία του υγρού που βρίσκονται στο ίδιο βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού έχουν την ίδια πίεση. Αυτή η αρχή εφαρμόζεται στα συγκοινωνούντα δοχεία. Συγκοινωνούντα δοχεία λέμε διάφορα δοχεία με διαφορετικό σχήμα και μέγεθος που συνδέονται μεταξύ τους με ένα σωλήνα στο κατώτερο σημείο τους, όπως βλέπουμε στο σχήμα.

Αν ρίξουμε υγρό σε ένα από αυτά, μέσω του σωλήνα θα διοχετευτεί υγρό και στα υπόλοιπα δοχεία. Παρατηρούμε ότι όταν επέλθει ισορροπία η στάθμη του υγρού είναι στο ίδιο επίπεδο για όλα τα δοχεία. Αν σε ένα δοχείο η στάθμη ήταν υψηλότερη από τα υπόλοιπα θα είχαμε διαφορετική υδροστατική πίεση στον πυθμένα και θα είχαμε κίνηση του υγρού, πράγμα που δεν συμβαίνει, άρα η στάθμη του υγρού στα συγκοινωνούντα δοχεία είναι στο ίδιο επίπεδο.

Την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων την εκμεταλλευόμαστε στο σύστημα υδροδότησης των πόλεων. Συγκεκριμένα οι δεξαμενές ύδρευσης κατασκευάζονται στα ψηλότερα σημεία των πόλεων έτσι ώστε λόγω της διαφοράς της υδροστατικής πίεσης το νερό να κινείται μέσω σωληνώσεων και να φτάνει στους υψηλότερους ορόφους των σπιτιών χωρίς να χρειάζεται τη χρήση αντλιών.