Η μηχανική ενέργεια και η διατήρηση της

Εκτοξεύουμε ένα σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα vo. Tη στιγμή που το σώμα φεύγει από το χέρι μας έχει κινητική ενέργεια ΕKο ενώ η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν. Καθώς το σώμα ανεβαίνει το βάρος του καταναλώνει έργο και έτσι η κινητική του ενέργεια μειώνεται, όμως μεγαλώνει το ύψος από το έδαφος και έτσι αυξάνεται η δυναμική ενέργεια του σώματος. Όταν το σώμα φτάσει στο μέγιστο ύψος η κινητική του ενέργεια μηδενίζεται και η δυναμική του ενέργεια γίνεται μέγιστη. Όταν το σώμα αρχίσει να κατεβαίνει η κινητική του ενέργεια αυξάνεται αφού αυξάνεται η ταχύτητα για το λόγο ότι το έργο του βάρους είναι παραγόμενο ενώ η δυναμική ενέργεια μειώνεται αφού το σώμα χάνει ύψος.

Κατά την άνοδο το έργο του βάρους είναι καταναλισκόμενο κι έτσι η κινητική ενέργεια μειώνεται και γίνεται δυναμική. Κατά την κάθοδο του σώματος το έργο του βάρους είναι παραγόμενο και έτσι η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια.

Το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας ενός  σώματος κάθε στιγμή ονομάζεται μηχανική ενέργεια του σώματος. Στο προηγούμενο παράδειγμα μας θα δείξουμε ότι το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας, δηλαδή της μηχανικής ενέργειας είναι σταθερό.

Το σώμα κινείται μόνο υπό την επίδραση του (σταθερού) βάρους του επομένως σύμφωνα με το 2ο Νόμο του Νεύτωνα κινείται με σταθερή επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g.Το σώμα εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα vo από τα ύψος μηδέν. Οι εξισώσεις κίνησης είναι:

v = vogt (ταχύτητα τη στιγμή t)

h = vot – ½ gt2 ( ύψος τη στιγμή t)

H Mηχανική Ενέργεια του σώματος είναι:

EM = ½ mv2 + mgh

Mε αντικατάσταση σε αυτή τη σχέση παίρνουμε:

EM = ½ m (vo – gt)2 + mg (vot – ½ gt2)

= (½m vo2 + ½ mg2t2 – 2 ½ mvogt)+ (mgvot – ½ mggt2)

= ½ m vo2 

Βρήκαμε ότι για την κατακόρυφη κίνηση του σώματος, η μηχανική ενέργεια του κάθε στιγμή είναι σταθερή και ίση με την αρχική κινητική ενέργεια του σώματος. Δηλαδή όσο ελαττώνεται η κινητική ενέργεια του σώματος τόσο ακριβώς αυξάνεται η δυναμική του ενέργεια και αντίστροφα.

Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου

Παρόμοιο φαινόμενο με το προηγούμενο παράδειγμα από ενεργειακή άποψη είναι το σύστημα σφαίρα –ελατήριο.

1] Στη φάση (1)  η σφαίρα όπως κινείται, έρχεται σε επαφή με το ελατήριο. Η κινητική της ενέργεια Εκ1 είναι μεγίστη, ενώ η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου  είναι μηδέν U1 =0 αφού το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος.

2] Στη φάση (2) το ελατήριο έχει συσπειρωθεί. Επομένως έχει αποκτήσει δυναμική ενέργεια U2 . Η ταχύτητα της σφαίρας έχει ελαττωθεί και έχει μικρότερη κινητική ενέργεια Εκ2 .

3] Στη φάση (3) η σφαίρα σταματά στιγμιαία. Επομένως η κινητική της ενέργεια μηδενίζεται Εκ3=0 και το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη παραμόρφωση δηλαδή η δυναμική ενέργεια γίνεται μέγιστη.

Δηλαδή η μηχανική ενέργεια της σφαίρας – ελατήριο είναι: Εκ1 + U1 = Eκ2 + U2 = Eκ3+ U3 ή Εκ1 + 0= Εκ2 + U2= 0 + U3 ή Εκ1 = Εκ2 + U2= U3

Oλόκληρη ποσότητα κινητικής ενέργειας της σφαίρας (φάση 1) μετατρέπεται σε ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (φάση 3).

Η μετατροπή μεταξύ κινητικής και δυναμικής ενέργειας γίνεται μέσω του έργου των δυνάμεων που ασκούνται ανάμεσα στο σώμα και στο ελατήριο.

Τις παραπάνω παρατηρήσεις γενικεύουμε, διατυπώνοντας το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Όταν ένα σώμα ή σύστημα σωμάτων κινείται υπό την επίδραση μόνο βαρυτικών ηλεκτρικών ή δυνάμεων ελαστικής παραμόρφωσης, η μηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή

Εα= U + Εκ = σταθερή

Θεωρούμε το παρακάτω παράδειγμα:

Ένας αθλητής της τοξοβολίας τεντώνει την χορδή του τόξου και εκτοξεύει ένα βέλος.

1] καθώς τεντώνει τη χορδή, το τόξο αποκτά δυναμική ενέργεια που προέρχεται από τη χημική ενέργεια του τοξότη

2] όταν ο τοξότης αφήνει ελεύθερη την τεντωμένη χορδή, η δυναμική ενέργεια της χορδής (τόξου) μεταφέρεται στο βέλος.

3] τη στιγμή που το βέλος φεύγει από το τόξο όλη η αρχική δυναμική ενέργεια της χορδής έχει μετατραπεί σε κινητική ενέργεια του βέλους.

Από το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας συμπεραίνουμε ότι όλη η δυναμική ενέργεια της τεντωμένης χορδής μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια του βέλους καθώς φεύγει από το τόξο.

Αν πάνω σε ένα σώμα που κινείται ασκούνται δυνάμεις τριβής λόγω ολίσθησης ή λόγω αντιστάσεων από ένα ρευστό, επειδή πάντα το έργο τους είναι καταναλισκόμενο, τότε η μηχανική ενέργεια δεν μένει σταθερή αλλά μειώνεται.